GEWINN-MAXIMIERUNG MIT DER KELLY-FORMEL.

PROLOG.

Statement von Jörg Scherer, Leiter Technische Analyse bei HSBC Deutschland.

Herr Scherer, Sie beschäftigen sich seit vielen Jahren mit den unterschiedlichen Bereichen der Technischen Analyse. Welche Vorteile liefert dieser Ansatz gegenüber fundamentalen Methoden?

Scherer: Die Technische Analyse basiert darauf, dass Märkte sich in Trends bewegen, dass alle Informationen bereits in den Kursen enthalten sind und dass die Zukunft gewisse Ähnlichkeiten mit der Vergangenheit aufweist. Es geht also darum, wiederkehrende Muster, die aufgrund massenpsychologischer Phänomene entstehen, für profitable Handelsentscheidungen zu nutzen.

Was ist beim Einsatz der Technischen Analyse in der Praxis besonders wichtig?

Scherer: Auch die Technische Analyse ist kein Heiliger Gral, es gibt Fehlsignale und damit auch Verluste beim Trading. Der Kapitalerhalt sollte daher für jeden Trader und Investor an erster Stelle stehen! Anders ausgedrückt: Man muss sich um die Verluste kümmern, damit man auch Drawdown-Phasen – die unweigerlich auftreten – überstehen und anschließend weiterhandeln kann. Genau an dieser Stelle hakt es aber oftmals, weil emotionale Faktoren wie Angst und Gier objektiven Entscheidungen – zum Beispiel dem Ausstieg aus einer Verlustposition – im Weg stehen. Aus diesem Grund lohnt es sich, intensiv mit dem Thema Risk- und Money Management zu beschäftigen.

Welche Methode zur Positionsgrößensteuerung favorisieren Sie?

Scherer: Es gibt natürlich viele unterschiedliche Money Management-Ansätze und jede hat ihre Vor- und Nachteile. Eines haben alle Methoden aber gemeinsam: Wenn eine Handelsstrategie erfolgreich läuft, wird der Kapitaleinsatz erhöht. Werden dagegen Verluste eingefahren, wird auch der Kapitaleinsatz konsequent reduziert. Es handelt sich also um eine Anti-Martingale-Strategie. Die Mehrzahl der Marktteilnehmer macht genau das Gegenteil: Einsätze werden erhöht, wenn es schlecht läuft. Eine gute Money Management Strategie kümmert sich um zwei Dinge: den Kapitalerhalt und die Maximierung der Gewinne. Sie sorgt deshalb nicht nur für ein besseres Risk-Return-Verhältnis, sondern auch für mehr Disziplin beim Trading.

John Kelly hat auf diesem Gebiet Pionierarbeit geleistet – was halten Sie von der Kelly Formel?

Scherer: Die Kelly-Formel, die ursprünglich für Glücksspiele entwickelt wurde, findet auch nach Jahrzehnten viele Anhänger und das zurecht. Sie berücksichtigt nämlich explizit die Güte eines Handelsansatzes und sorgt damit für ein aktives Position Sizing. Dies ist zwar mit Arbeitsaufwand verbunden, weil immer wieder Anpassungsbedarf im Portfolio entsteht. Per Saldo lohnt sich die Umsetzung allemal, da vor allem Baissephasen umgangen bzw. abgefedert werden können. Über einen ganzen Marktzyklus hinweg ermöglicht die Kelly-Formel mithilfe der Steuerung der Positionsgrößen regelmäßig eine Outperformance.

Vielen Dank, Herr Scherer, für diese Stellungnahme.

GEWINNMAXIMIERUNG MIT DER KELLY-FORMEL.

Wie Sie systematisch die optimale Investitionsquote festlegen.

Das Ziel eines jeden Investors liegt klar auf der Hand: In Bullenmarktphasen gilt es, dabei zu sein; in Bärenmarktphasen dagegen soll das Exposure auf ein Minimum heruntergefahren werden. In der vorliegenden Trading Tips-Ausgabe zeigen wir auf, wie man dies mithilfe der Kelly Formel erreichen kann.

NICHT ZU GROSS, NICHT ZU KLEIN – DIE FRAGE NACH DER OPTIMALEN POSITIONSGRÖSSE.

Bevor wir in die Praxis einsteigen, soll anhand eines einfachen Würfelspiels die Bedeutung der Positionsgröße für den Verlauf der Kapitalkurve unterstrichen werden.
Es gelten folgende Regeln:

• Spieler A erhält 100 Euro Startkapital
• Anschließend wird gewürfelt
• Zeigt der Würfel eine Zahl größer als 2, erhält Spieler A seinen Einsatz in doppelter Höhe zurück
• Zeigt der Würfel jedoch 1 oder 2, verliert er den eingesetzten Beitrag

In dieser Konstellation handelt es sich um ein Spiel, das Spieler A aus statistischer Sicht nicht verlieren kann. Die Chancen bei jedem Wurf zu gewinnen, stehen schließlich 4 zu 2 für ihn. Verlieren kann er dieses Spiel nur dann, wenn er sich zu stark auf seinen Vorteil verlässt und eine früher oder später auftretende Verluststrecke nicht verkraften kann. Der Ruin tritt umso eher ein, je höher der Wetteinsatz ausfällt. Doch auch ein zu kleiner Einsatz ist nicht die perfekte Lösung, da er die gebotenen Chancen dieses Spiels nicht optimal nutzen kann.

Die alles entscheidende Frage bei diesem Würfelspiel – und auch beim Einsatz algorithmischer Handelsstrategien – lautet deshalb:

WIE VIEL SOLL RISKIERT WERDEN, UM EINEN MAXIMALEN KAPITALZUWACHS ZU GENERIEREN?

DIE KELLY-FORMEL.

Genau an dieser Stelle kommt die geniale Lösung von John Kelly jr. Ins Spiel. Im Jahre 1956 beschäftigte sich der Wissenschaftler mit der Frage, ob es möglich ist, den idealen Wetteinsatz für solch ein Spiel zu berechnen*. Kelly hatte dabei keineswegs die Börse im Blick, doch schon bald erkannten er und Andere, welche Relevanz seine Fragestellung für die Arbeit an den Finanzmärkten hatte.
So fand er einen einfachen Zusammenhang, mit welchem sich das optimal zu riskierende Kapital für ein maximales Gewinnwachstum ermitteln lässt. Die Kernaussage der Kelly-Formel lautet: Je höher der statistische Vorteil, je geringer das Risiko, desto höher der empfohlene Kapitaleinsatz.

Die Formel zur Berechnung des idealen Kapitaleinsatzes zur Gewinnmaximierung lautet wie folgt:

*Bei Interesse können Sie seine originale Forschungsarbeit „A New Interpretation of Information Rate“ hier nachlesen. Eine interessante Gegenüberstellung der Kelly- und Markowitz Portfolio Optimierung findet sich in folgendem Blog-Beitrag von Ernie Chan, Referent und Autor diverser Bücher zum Thema „Algorithmic Trading“.

Bei näherer Betrachtung dieser Formel lassen sich folgende Kernaussagen ableiten:

• Je höher die Gewinnwahrscheinlichkeit, desto höher sollte der Kapitaleinsatz gewählt werden u.u.
• Je höher das Verhältnis zwischen durchschnittlich erzieltem Gewinn und Verlust, desto höher sollte der Kapitaleinsatz gewählt werden u.u.

Im eingangs erwähnten Würfelspiel liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei 67 Prozent, da vier von sechs möglichen Ereignissen gewonnen werden (4/6=67 Prozent). Die Verlustwahrscheinlichkeit beträgt 34 Prozent (100 Prozent-66 Prozent). Der durchschnittliche Gewinn ist genauso hoch wie der durchschnittliche Verlust, folglich ist das Verhältnis gleich 1. Setzt man die Zahlen in die Formel ein, erhält man folgendes
Ergebnis: 67-(34:1) = 33.

Dies bedeutet, dass man bei Anwendung der Kelly-Formel beim nächsten Durchgang bzw. Trade 33 Prozent des verfügbaren Kapitals riskieren sollte, um aus diesem Spiel den maximalen Nutzen zu ziehen. Die nachfolgende Grafik zeigt, welch aggressives
Positionsgrößensystem die Kelly-Formel darstellt.

Insbesondere, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit und/oder das Gewinn/Verlust Verhältnis hohe Werte annehmen, liefert die Kelly-Formel exorbitant hohe Positionsgrößen, die aufgrund des Risikos in der Investmentwelt alles andere als sinnvoll sind.

ABB. 1: POSITIONSGRÖSSENMATRIX NACH KELLY.

Die Kelly-Formel berechnet auf Basis der Gewinnwahrscheinlichkeit (%Win) und dem Verhältnis zwischen dem durchschnittlichen Gewinn und Verlust die ideale Positionsgröße zur Gewinnmaximierung.

UMSETZUNG IM PORTFOLIOMANAGEMENT.

Wenngleich die Kelly-Formel als Tool zur Positionsgrößensteuerung zweifellos zu risikoreich ist, liefert das dahinter stehende Konzept dennoch wertvolle Erkenntnisse für das Portfoliomanagement. Eine innovative Art, diese Formel zu nutzen, möchten wir Ihnen nun vorstellen. Die Idee dahinter: Der Kursverlauf einer Aktie soll anhand der historischen Entwicklung zur Berechnung der idealen Positionsgröße dienen. Bevor wir auf die Umsetzung in der Praxis und die dazugehörigen Equilla Codes vorstellen, zunächst ein kurzer Exkurs, der die Idee näher erläutert. Dazu ist es hilfreich, den Buy-and-Hold-Ansatz als Abfolge von virtuellen Einzeltrades zu verstehen.
Wird eine Aktie zum Beispiel fünf Tage lang gehalten und steigt diese in diesem Zeitraum von 100 auf 105, könnte der zurückgelegte Pfad sehr unterschiedlich ausfallen. Abbildung 2 zeigt exemplarisch den Verlauf von Aktie A und Aktie B.

IN WELCHE AKTIE SOLLTE MAN MEHR KAPITAL INVESTIEREN?

ABB. 2: HYPOTHETISCHER KURSVERLAUF ZWEITER AKTIEN.

Die Kelly-Formel berücksichtigt bei der Berechnung der Positionsgröße das Verhältnis von positiven zu negativen Perioden sowie das Verhältnis zwischen durchschnittlichem Periodengewinn und –verlust. Während beide Aktien die gleiche Endperformance aufweisen, ist Aktie A aufgrund der geringeren Drawdowns und der höheren Gewinnwahrscheinlichkeit vorzuziehen – sprich: höher zu gewichten.

Portfoliomanagern dürfte die Antwort alles andere als schwer fallen: Im Vergleich zur Aktie B weist Aktie A eine hohe Gewinnwahrscheinlichkeit auf (Anstieg an 4 von 5 Handelsperioden), gleichzeitig fallen die Verluste deutlich geringer aus. Damit ist Aktie A der Aktie B vorzuziehen. Aus Sicht der Kelly-Formel fällt die Wahl ebenfalls auf Aktie A, weil der Erwartungswert hier höher ist.
Selbstverständlich ist ein Betrachtungszeitraum von nur fünf Perioden zu kurz, um daraus Rückschlüsse auf Höhe der idealen Gewichtung zu ziehen – wie sieht die Sache aber aus, wenn man z.B. ein Jahr als Beobachtungszeitraum wählt?

BERECHNUNGSBEISPIEL & EQUILLA CODE.

Betrachtet man die wöchentlichen Kursänderungen einer Aktie analog zur Gewinn/Verlust-Kurve eines Glücksspiels, kann man mit der Kelly-Formel den idealen Kapitaleinsatz ableiten. Bei der zugrunde liegenden Aktie wird auf Basis der des Betrachtungszeitraums (z.B. 54 Wochen) zunächst die Anzahl der positiven Wochen der Anzahl negativer Wochen gegenübergestellt, woraus die Gewinnwahrscheinlichkeit berechnet wird.

BEISPIEL:

29 positive Wochen und 25 negative Wochen

• GEWINNWAHRSCHEINLICHKEIT = 29/25 = 53,7%

Im nächsten Schritt betrachten wir das durchschnittliche Ergebnis in Gewinnwochen und Verlustwochen, woraus das Gewinn-Verlust-Verhältnis kalkuliert wird.

BEISPIEL:

Durchschnittlicher Ertrag in positiven Wochen: 0,226 Euro
Durchschnittlicher Verlust in negativen Wochen: 0,251 Euro

• GEWINN/VERLUST-VERHÄLTNIS: 0,90

Mithilfe dieser beiden Zahlen lässt sich die optimale Positionsgröße für das jeweils vorgegebene Risiko berechnen.

BEISPIEL:

Positionsgröße nach Kelly in % des Trading-Kapitals
= %Win – [ %Loss / (avg.Win/avg.Loss)]

• 53,7-[46,3/0,9] = 2,25 %

Beträgt das Risikokapital bei dieser Aktie 100.000 Euro, so lässt sich die Positionsgröße wie folgt berechnen:

BEISPIEL:

100.000 Euro * 0,0225 = 2.250 Euro
Durchschn. Wochenverlust = 0,251 Euro

• EMPFOHLENE POSITIONSGRÖSSE = 8.964 AKTIEN

Treten in den darauf folgenden Wochen negative Perioden auf, verschlechtern sich die Statistikwerte und es wird empfohlen, die Aktienanzahl zu reduzieren. Bei einem ausgeprägten Aufwärtstrend wird die Anzahl der Aktien dagegen aufgrund der verbesserten Statistikwerte (Trefferquote, Gewinn/Verlustverhältnis) stark erhöht.

Letztendlich macht der nachfolgende Indikator also nichts anderes, als den Kursverlauf als Spiel zu betrachten und aus der Performance des vergangenen Jahres (54 Wochen) jeweils eine Schätzung für den nächsten Trade auszugeben.

Der Indikator für die Kelly-Formel ist auf der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

ABB. 3: EQUILLA CODE FÜR KELLY INDIKATOR.

Der Kelly Indikator berechnet anhand einer frei definierbaren Lookback-Periode die ideale Positionsgröße (Aktienanzahl) für ein frei wählbares Risikokapital.

Zur Beschreibung des Indikators und aller verfügbaren Inputs betrachten wir exemplarisch die Adidas-Aktie im Wochenchart. Die Einstellung der Parameter sieht wie folgt aus:

• Lookback: 54 (Die Berechnung basiert auf der Kursentwicklung der letzten 54 Wochen)
• Capital: 1.000 (1000 Euro Risiko pro Woche)
• Show_me: Positionsize (Positionsgröße)
  Weitere Auswahloptionen:
  Kelly-Number (Empfohlene Positionsgröße in % des Tradingkapitals)
  WinLose (positive vs. negative Perioden im Betrachtungszeitraum)
• Long_only: True (Berechnung und Anzeige der Positionsgröße erfolgt auf Long-Basis,
  d.h. Short-Positionsgrößen werden nicht angezeigt)

ABB. 4: ADIDAS (BERECHNUNGSBASIS 54 WOCHEN) MIT KELLY-KOMPONENTEN.
Mithilfe des Kelly Indikators wird die Positionsgröße (orange) in Abhängigkeit der historischen Gewinnwahrscheinlichkeit und dem Gewinn/Verlust-Verhältnis berechnet und für jede neue Periode adjustiert.

Im Chart der Abbildung 4 ist die empfohlene Anzahl der Aktien nach Kelly in orange dargestellt. Diese wird umso größer, je stärker sich ein Trend ausbildet (siehe 2 und 3). Schwächelt der Trend oder es treten unerwartete negative Ereignisse auf, wird ein Teil der Position wieder geschlossen (1). In Seitwärts- und Abwärtsphasen hält der Kelly-Ansatz den Portfoliomanager dadurch vom Markt fern. Dies war beispielsweise zwischen Mai 2008 und Oktober 2009 der Fall. Auch im laufenden Börsenjahr erwies sich der Kelly-Indikator als effektiv – seit Ende März beträgt die Gewichtung bei der Adidas-Aktie null (4). Eine Long-Position wird erst dann wieder aufgebaut, wenn sich wieder ein starker Aufwärtstrend abzeichnet.

ZU VIEL DES GUTEN?

In Anbetracht der eben genannten Vorteile darf ein Nachteil nicht verschwiegen werden. Die Kelly-Formel wurde nicht für die Finanzmärkte entwickelt, Kelly selbst verwendete sie, um den optimalen Einsatz bei Pokerspielen zu berechnen. Pokerspiele unterscheiden sich jedoch von den Finanzmärkten insofern, als dass der maximale Verlust im Spiel immer genau bekannt ist. An dieser Stelle verwenden wir anstatt des maximal möglichen Verlusts den durchschnittlichen Periodenverlust. Die Kelly Formel, wie sie hier vorgestellt wurde, wird die Positionsgröße bis zum Maximum steigen lassen (siehe Abb. 1), wenn die zugrunde liegende Aktie im Betrachtungszeitraum kaum mehr Verlustwochen aufweist. Schließlich geht die Formel davon aus, man könne bei dieser „Wette“ auf diese Aktie nicht verlieren und schließt daraus, dass ein sehr hoher Prozentsatz des Risikokapitals beim nächsten Trade riskiert werden sollte. Diese Annahme birgt jedoch extreme Risiken, was ein Verfahren zur Beschränkung der Positionsgröße dringend notwendig macht. Hierbei bieten sich folgende Lösungen an:

• Manuelle Beschränkung der Positionsgröße, da Kelly das zur Verfügung stehende Kapital nicht berücksichtigt
• Festlegung eines Minimalrisikos, anstatt nur Tages- bzw. Wochenbewegungen zu betrachten

DIE KELLY-POSITIONSGRÖSSENSTRATEGIE AUF DEM PRÜFSTAND.

Wenn die Kelly Formel sinnvoll ist, dann sollte sich das mit einem einfachen Handelssystemtest schnell herausfinden lassen. Der nachfolgende Equilla Code, der mittels Copy & Paste als Handelsstrategie auf Ihrem Tradesignal-Terminal gespeichert und
genutzt werden kann, liefert die Antwort. Die Handelsstrategie berechnet mithilfe der Kelly-Formel die Positionsgröße. Damit werden immer genau so viele Aktien gehalten, wie es die hier vorgestellte Kelly Formel vorschlägt. Die Kauf- und Verkaufsanweisungen
am Ende des Codes sorgen für die periodische Adjustierung.

Damit die Strategie korrekt ausgeführt wird, müssen im Bereich Money Management folgende Einstellungen für die Positionsgröße definiert werden.

ABB. 5: MONEY MANAGEMENT EINSTELLUNGEN.

Für die korrekte Anwendung der Kelly Strategie muss die Pyramidierung aktiviert und die maximale Anzahl offener Entries auf 10000 oder höher gesetzt werden.

ABB. 6: EQUILLA CODE FÜR DIE KELLY-POSITIONSGRÖSSENSTEUERUNG NACH KELLY.

Die Handelsstrategie berechnet nach jeder Periode die Kelly Zahl und berechnet anschließend die optimale Positionsgröße für das vorgegebene Risikokapital.

Das Verfahren zur Positionsgrößenbestimmung liefert bei einem Portfolio mit vielen Einzelwerten ansehnliche Resultate – und das über alle Marktphasen hinweg. Abbildung 6 zeigt die Performance eines DAX 30 Aktien Baskets, wenn man bereit ist, bis zu 1.000 Euro pro Woche in jeder zugrunde liegenden Aktie zu riskieren. Wie erwartet, wird in Bullenmärkten stark investiert; Im Bärenmarkt 2000–2003 verläuft die Kapitalkurve dagegen flach, da Kelly bei negativer Gewinnwahrscheinlichkeit nicht investiert.

Ändert sich der Wert der vorgeschlagenen Positionsgröße, dann wird zur nächsten Wocheneröffnung die Anzahl der Aktien im Portfolio angepasst. Man sieht, wie das Verfahren in der Praxis funktioniert. In starken Bullenphasen werden schnell Positionen aufgebaut. Dies erkennt man daran, dass die orange Linie für die offenen Gewinne schnell steigt, die blaue Linie für die geschlossenen Profite hingegen unverändert bleibt. Crasht der Markt sehr schnell, können nicht mehr alle offenen Gewinne realisiert werden und es wird ein nicht unerheblicher Teil der aufgelaufenen Gewinne wieder abgegeben (wie in 1998). Im Bärenmarkt 2000–2003 hielt die Kelly Formel Trader und Investoren weitgehend vom Markt fern. Dasselbe gilt für den Bärenmarkt ab Mitte 2007 bis Anfang 2009.

Bild 7 zeigt dasselbe Verfahren, angewendet auf den MDAX und dieses Mal mit Tagesdaten und täglicher Adjustierung der Positionsgröße. Auch hier hat die Kelly-Formel gute Arbeit geleistet. Ob die Neugewichtung des Portfolios wöchentlich oder täglich vorgenommen wird, scheint also – bei Nichtberücksichtigung der Umschichtungskosten – nicht von hoher Bedeutung sein. Auch für die Länge der Beobachtungsperiode, die zur Berechnung der Werte verwendet wird – zum Beispiel 50 oder 200 Kerzen – hat keinen großen Einfluss auf die Performance.

ABB. 7: KAPITALKURVE FÜR DAX-PORTFOLIO MIT KELLY-STRATEGIE.

Die dynamische Steuerung der Positionsgröße mithilfe der Kelly-Formel sorgt dafür, dass starke Trendphasen genutzt, während schwache und negative Phasen größtenteils umgangen werden.

ABB. 8: KAPITALKURVE FÜR MDAX-PORTFOLIO MIT KELLY-STRATEGIE.

Die dynamische Steuerung der Positionsgröße zeigt auch beim MDAX gute Ergebnisse und belegt damit die Wirksamkeit der Kelly-Formel als Trendindikator.

Die dargestellten Ergebnisse bestätigen, dass die innovative Anwendung der Kelly-Formel vielversprechende Möglichkeiten für die Entwicklung von Handelsstrategien eröffnet. So konnte in allen untersuchten Märkten eine ausgeprägte positive – absolute – Performance erreicht werden. Schwache Marktphasen wurden unbeschadet überstanden und starke Aufwärtstrends konnten genutzt werden. Mit der flexiblen Programmiersprache Equilla lassen sich alle Ideen in die Tat umsetzen, dabei lohnt es sich, auch unkonventionelle Pfade zu betreten.